Klik ikon copy ke clipboard ▼ •∙⊙⊚⊛◉○◌◍◎●◘◦。☉⦾⦿⁃⁌⁍◆◇◈★☆□☐☑☒✓✔❖⋄❥❧☙☸✤✱✲✦✧↠↣↦↬⇛⇝⇢⇨➔➙➛➜➝➞➟➠➡➢➣➤➥➦➧➨➮➱➲➳➵➸➼➽➾→⇾⇒‣▶▷▸▹►▻⬛◼️◾▪️♦️🔶🔹🔸🔘☑️✅✔️🔵🟢🟠🔴❇️⚫🟤🟣️⃣ℹ️💠✳️⛔⚠️➡️*️⃣ ※ Semua simbol adalah karakter unicode, bukan gambar atau karakter gabungan. Tetapi Anda juga bisa menggabungkannya sendiri. ※ Simbol teks Makna Copy / Paste simbol titik tengah ⊛ operator tanda bintang yang dilingkari ◉ mata ikan ○ lingkaran putih ◌ lingkaran bertitik ◍ lingkaran dengan isian vertikal ◎ tepat sasaran ● lingkaran hitam ◘ peluru terbalik ◦ peluru putih ☉ matahari ◆ berlian hitam ◇ berlian putih ◈ berlian putih yang mengandung berlian hitam kecil ★ bintang hitam ☆ bintang putih kotak hitam □ kotak putih ☐ kotak suara kotak centang ☑ kotak suara dengan cek ☒ kotak suara dengan x persegi dengan salib ✓ Tanda cek ✔ tanda centang berat ❥ diputar hati hitam yang berat. simbol titik peluru. ❧ jantung bunga diputar. simbol titik peluru. ☙ jantung bunga yang diputar terbalik. simbol titik peluru. ☸ roda dharma ✤ tanda bintang empat balon berat ✱ tanda bintang berat ✲ tanda bintang tengah terbuka ↠ dua panah menuju ke kanan ↣ panah ke kanan dengan ekor ↦ panah ke kanan dari bar ↬ panah ke kanan dengan lingkaran ⇛ panah tiga ke kanan ⇝ panah coretan ke kanan ⇢ panah putus-putus kanan ⇨ panah putih ke kanan ➙ panah kanan berat ➛ titik penyusunan panah ke kanan ➜ panah kanan berujung bulat berat ➝ panah ke kanan menuju segitiga ➞ panah ke kanan berat segitiga menuju ➟ panah kanan menuju segitiga putus-putus ➠ panah putus-putus menuju ke depan ➡ panah kanan hitam ➢ panah kanan atas tiga d menyala-atas ➣ panah kanan bawah tiga-d menyala ➤ panah kanan hitam ➥ panah hitam berat melengkung ke bawah dan ke kanan ➦ panah hitam berat melengkung ke atas dan ke kanan ➧ panah kanan hitam jongkok ➨ panah ke kanan cekung hitam berat runcing ➮ panah kanan putih berat kanan atas teduh ➱ panah kanan putih berlidah kanan berlekuk atas ➲ panah kanan putih melingkari berat ➳ panah kanan putih berbulu ➵ panah kanan berbulu hitam ➸ panah kanan hitam berbulu berat ➼ panah kanan baji ekor ➽ panah kanan baji ekor berat ➾ panah kanan terbuka diuraikan → panah ke kanan ⇾ panah ke kanan terbuka ⇒ panah kanan ganda ▶ segitiga siku-siku hitam ▷ segitiga menunjuk kanan putih ▸ hitam segitiga kecil yang menunjuk ke kanan ▹ putih segitiga kecil yang menunjuk ke kanan ► pointer kanan menunjuk hitam ▻ pointer menunjuk kanan putih
اا(illa) untuk pengurangan, ف (fi) untuk perkalian dan عل ('ala) untuk pembagian dan lain sebagainya. Simbol-simbol tersebut digunakan di wilayah kekaisaran Muslim Timur dan kemudian sebagian simbol tersebut dikembangkan oleh para Ilmuwan Eropa sehingga munculah simbol-simbol yang kita kenal sekarang ini seperti + - x : dll.
Klik simbol untuk menyalin⊚◍⊝⊙〇◓◕◜⊛◚◖◔⦿◝◉◡∅◞◎◐○⊜❍◌◟◯◘〶◠⬤●⚫◦⊕⊘◒⊗◛⊖☢◑∘◙❂◗
Namapanggilan, font keren, simbol, dan tag yang terkait dengan Titik - BOSS · JazZ, NST • z u x y, XC •, IES · M o z i l a, EVOS · R e e y愛, BalDev • Rere. Buat nama baik untuk game, profil, merek atau jejaring sosial. Kirim nama panggilan lucu Anda dan gamertag keren dan salin yang terbaik dari daftar.
Pada Chapter 9, penulis akan menjabarkan mengenai metode numerik untuk melakukan diferensiasi dan integrasi pada suatu fungsi. Adapun yang akan dibahas pada Chapter ini antara lain Metode Beda Hingga Metode Integrasi Newton-Cotes Metode Integrasi Kudratur Gauss Metode Integrasi Adaptif Metode Integrasi Romberg Metode Integrasi Monte Carlo Studi Kasus Metode Beda Hingga Diferensiasi merupakan proses mencari slope suatu garis pada titik yang diberikan. Secara umum proses diferensiasi dinyatakan melalui Persamaan \[\begin{equation} f'\leftx\right \approx \frac{f\leftx+h\right-f\leftx\right}{h} \tag{ \end{equation}\] Kita dapat menyatakan secara formal proses diferensiasi sebagai limit Persamaan dimana \h\ mendekati nol. Jadi kita ingin membuat nilai \h\ sekecil mungkin untuk memperoleh pendekatan terbaik terhadap nilai turunan suatu fungsi. Kita membatasi nilai \h\ pada sejumlah nilai yang masuk akal untuk mencegah pembagian dengan nilai yang tidak biasa. Kita juga harus memastikan \f\leftx\right\ dan \f\leftx+h\right\ terpisah cukup jauh untuk mencegah floating point round off error mempengaruhi proses substraksi. Terdapat 3 buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsi dengan menggunakan metode numerik, yaitu metode selisih maju, metode selisih mundur, dan metode selisih tengah. Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor. Persamaan dan Persamaan menunjukkan persamaan untuk memperoleh turunan pertama dan taksiran error menggunakan metode selisih maju dan metode selisih mundur. \[\begin{equation} f'\leftx\right = \frac{f\leftx+h\right-f\leftx\right}{h} - \frac{h}{2} f''\leftc\right \tag{ \end{equation}\] \[\begin{equation} f'\leftx\right = \frac{f\leftx\right-f\leftx-h\right}{h} - \frac{h}{2} f''\leftc\right \tag{ \end{equation}\] Metode nilai tengah menggunakan ukuran langkah \h\ dua kali dibandingkan dengan 2 metode lainnya. Error yang dihasilkan juga berbeda dengan kedua metode sebelumnya, dimana error dihasilkan dari pemotongan turunan ketiga pada deret Taylor. Secara umum metode selisih tengah memiliki akurasi yang lebih baik dibandingkan kedua metode sebelumnya karena metode ini mempertimbangkan dua sisi untuk memeriksa nilai \x\. Persamaan merupakan persamaan untuk memperoleh nilai turunan pertama suatu fungsi dan estimasi error menggunakan deret Taylor. \[\begin{equation} f'\leftx\right = \frac{f\leftx+h\right-f\leftx-h\right}{2h} - \frac{h^2}{6} f'''\leftc\right \tag{ \end{equation}\] Bagaimana menentukan \h\? beberapa literatur menggunakan pendekatan machine error \\epsilon\ berdasarkan program yang digunakan untuk melakukan proses perhitungan. Metode selisih maju dan selisih mundur menggunakan pendekatan yang ditunjukkan pada Persamaan \[\begin{equation} h^{\ast}=x\sqrt{\epsilon} \tag{ \end{equation}\] Untuk metode selisih tengah pendekatan nilai \h\ menggunakan Persamaan \[\begin{equation} h^{\ast}=x\sqrt[3]{\epsilon} \tag{ \end{equation}\] Kita dapat menggunakan Persamaan sampai Persamaan untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut Contoh Hitunglah turunan pertama persamaan berikut menggunakan metode selisih titik tengah pada x =1 dan nilai h=0,05! \[ f\leftx\right=e^{-x}\sin\left2x\right+1 \] Jawab Untuk menghitung turunan pertama menggunakan metode selisih tengah, kita dapat menggunakan Persamaan Berikut adalah proses perhitungannya \[ f'\left1\right = \frac{f\left1+ \] Dengan menggunakan fungsi findiff, hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut [1] Kita dapat memperkecil nilai \h\ untuk memperoleh akurasi yang lebih baik berdasarkan pendekatan Persamaan [1] Penyelesaian persamaan matematik dalam bidang Teknik Lingkungan pada umumnya tidak hanya melibatkan turunan pertama, pada penyelesaian persamaan difusi umumnya menggunakan turunan kedua. Persamaan merupakan pendekatan numerik untuk memperoleh nilai turunan kedua suatu persamaan dengan pendekatan deret Taylor. \[\begin{equation} f''\leftx\right=\frac{f\leftx+h\right-2f\leftx\right+f\leftx-h\right}{h^2}-\frac{h^2}{12}f^{\left4\right}\leftc\right \tag{ \end{equation}\] Fungsi findiff2 merupakan fungsi yang digunakan untuk menghitung turunan kedua suatu persamaan yang didasarkan pada Persamaan Kita dapat menghitung kembali turunan kedua fungsi pada Contoh menggunakan fungsi findiff2. Berikut adalah sintaks yang digunakan [1] Diferensiasi Menggunakan Fungsi Lainnya di R Terdapat sejumlah fungsi R yang dapat digunakan untuk menghitung turunan suatu persamaan matematik. Fungsi-fungsi tersebut tersedia dalam sejumlah Paket, baik base package maupun yang berasal dari Paket lainnya. Diferensiasi Metode Titik Pusat Mengggunakan Fungsidiff Fungsi diff pada Paket base dapat digunakan untuk menghitung turunan suatu persamaan menggunakan metode titik pusat. Fungsi ini pada umumnya digunakan untuk menghitung lag suatu data runtun waktu. Agar fungsi tersebut dapat digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu persamaan, kita dapat menggunakan argumen lag = 2. Berikut adalah contoh penerapan fungsi diff untuk memperoleh turunan pertama persamaan matematik pada Contoh [1] Diferensiasi Menggunakan Paket numDeriv Paket standar yang sering digunakan untuk melakukan taksiran numerik turunan suatu fungsi adalah Paket numDeriv. Pada Paket tersebut terdapat fungsi grad yang digunakan untuk menaksir turunan pertama suatu persamaan. Format fungsi tersebut adalah sebagai berikut Catatan func Fungsi persamaan matematik yang akan dicari turunannya. x Lokasi atau titik yang akan dicari gradiennya method Metode estimasi yang digunakan. Metode yang dapat digunakan antara lain “simple” metode selisih maju dengan \h = 10^{-4}\ “Richardson” metode interpolasi Richardson “complex” complex-step derivative approach dan dapat digunakan untuk persamaan complex-differentiable. argumen tambahan yang digunakan bersama dengan argumen method. Jika metode yang digunakan adalah “simple”, nilai \h\ dapat dispesifikasikan pada jika diinginkan nilai \h\ lainnya. Berikut adalah contoh penerapan fungsi grad untuk memperoleh turunan pertama persamaan matematik pada Contoh [1] DIferensiasi Menggunakan Paket pracma Terdapat sejumlah fungsi pada Paket pracma yang dapat digunakan untuk melakukan diferensiasi suatu persamaan matematik. FUngsi-fungsi yang dapat digunakan untuk melakukan diferensiasi sederhana antara lain fderiv, numderiv, numdiff, dan grad. Fungsi fderiv dapat digunakan untuk melakukan diferensiasi orde pertama sampai dengan orde tinggi. Perlu dicatat bahwa diferensiasi cenderung kurang akurat jika orde diferensiasi semakin tinggi. Format yang digunakan untuk melakukan diferensiasi menggunakan fungsi fderiv adalah sebagai berikut Catatan f Fungsi persamaan matematik yang akan dicari turunannya. x Lokasi atau titik yang akan dicari gradiennya n Orde diferensiasi yang digunakan. Orde diferensiasi yang dapat digunakan adalah 1 sampai 8. method Metode estimasi yang digunakan. Metode yang dapat digunakan antara lain “central” metode titik pusat “forward” metode selisih maju “bacward” metode selisih mundur. … argumen tambahan fungsi f. Berikut adalah contoh penerapan fungsi fderiv untuk memperoleh turunan pertama dan kedua persamaan matematik pada Contoh Warning package 'pracma' was built under R version Attaching package 'pracma' The following objects are masked from 'packagerootSolve' gradient, hessian The following objects are masked from 'packageMatrix' expm, lu, tril, triu [1] [1] Fungsi numderiv menggunakan ekstrapolasi Richardson untuk melakukan taksiran turunan suatu persamaan matematik. Berbeda dengan fungsi lainnya, fungsi numderiv tidak hanya menampilkan hasil diferensiasi, fungsi ini juga menampilkan error absolut, error relatif, dan jumlah iterasi yang berlangsung. Berikut adalah format fungsi yang digunakan Catatan f Fungsi persamaan matematik yang akan dicari turunannya. x0 Lokasi atau titik yang akan dicari gradiennya maxiter Iterasi maksimum yang digunakan. h step size yang digunakan tol toleransi error yang digunakan. Berikut adalah contoh penerapan fungsi numderiv untuk memperoleh turunan pertama persamaan matematik pada Contoh $df [1] $ [1] $niter [1] 2 Fungsi numderiv memiliki keterbatasan dalam penggunaannya. Argumen x0 yang digunakan haruslah angka numerik tunggal. Fungsi numdiff mengatasi keterbatasan tersebut. Fungsi ini dapat menerima input berupa vektor, sehingga dapat digunakan untuk mencari nilai turunan pada sejumlah titik. Selain itu, output fungsi ini lebih sederhana, dimana hanya menampilkan hasil diferensiasinya saja. Berikut adalah format fungsi numdiff Catatan f Fungsi persamaan matematik yang akan dicari turunannya. x Vektor titik yang akan dicari gradiennya maxiter Iterasi maksimum yang digunakan. h step size yang digunakan tol toleransi error yang digunakan. Berikut adalah contoh penerapan fungsi numdiff untuk memperoleh turunan pertama persamaan matematik pada Contoh [1] Fungsi grad pada Paket pracma berbeda dengan yang digunakan pada Paket numDeriv. Perbedaan utama fungsi pada kedua Paket tersebut adalah metode estimasi yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu persamaan matematik. Pada Paket pracma, metode yang digunakan adalah metode titik pusat, sedangkan pada Paket numDeriv metode yang digunakan adalah metode selisih maju, ekstrapolasi Richardson, dan complex. Format fungsi grad pada Paket pracma adalah sebagai berikut Catatan f Fungsi persamaan matematik yang akan dicari turunannya. x0 Titik yang akan dicari gradiennya heps step size yang digunakan … Argumen lain yang digunakan pada fungsi f. Berikut adalah contoh penerapan fungsi grad untuk memperoleh turunan pertama persamaan matematik pada Contoh [1] Metode Integrasi Newton-Cotes Metode integrasi Newton-Cotes secara umum merupakan metode integrasi yang dilakukan dengan membagi area di bawah kurva suatu fungsi menjadi beberapa panel dengan terlebih dahulu menetapkan batas atas dan batas bawah interval. Integral atau luas area di bawah kurva ditentukan berdasarkan jumlah luas panel yang digunakan untuk mendekati luas area di bawah kurva. Terdapat beberapa metode yang akan penulis jelaskan pada sub-Chapter ini. Metode-metode tersebut antara lain Metode integral Riemann Metode trapezoida Metode Simpson 1/3 Metode Simpson 3/8 Metode Integral Riemann Metode integral Riemann dilakukan dengan membagi interval di bawah kurva suatu fungsi matematik sebanyak \m\ subinterval sama besar. Pada setiap subinterval dibentuk persegi panjang setinggi kurva pada setiap titik tengah persegi panjang tersebut. Area setiap subinterval diperoleh dengan mengalikan panjang dan lebar masing-masing persegi panjang. Jumlah masing-masing area tersebut digunakan untuk menaksir interval integral suatu fungsi dengan interval tertentu. Fungsi proses integrasi menggunakan metode titik tengah dapat dituliskan pada Persamaan \[\begin{equation} \int_a^bf\leftx\rightdx\ \approx\sum_{i=1}^mf\lefti\ \frac{\leftb-a\right}{m}-\frac{\leftb-a\right}{2m}\right\ \frac{\leftb-a\right}{m} \tag{ \end{equation}\] dimana \b\ dan \a\ masing-masing merupakan batas atas dan bawah interval kurva yang hendak dihitung integralnya. Error dari metode ini dapat diestimasi menggunakan Persamaan \[\begin{equation} \int_a^bh\leftx\rightdx=-\ \frac{\leftb-a\right^3}{24m^2}f^{\left2\right}\left\xi\right \tag{ \end{equation}\] dimana \\xi\ merupakan nilai antara \a\ dan \b\. Contoh Hitunglah intergral fungsi di bawah ini menggunakan metode integral Reimann dengan interval 0 sampai 1 dan jumlah panel 2 dan 4! \[ \int_0^1 x^2 dx \] Jawab Fungsi pada Contoh dapat diselesaikan menggunakan metode analitik. Penyelesaian analitik fungsi tersebut adalah sebagai berikut \[ \int_0^1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{_0}^{^1}=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=0,333... \] Penyelesaian numerik menggunakan metode titik tengah dengan jumlah panel 2 dapat dilakukan dengan menentukan lokasi titik tengah kedua panel. Berdasarkan interval fungsi dapat kita tentukan titik tengah kedua panel berada pada \x=0,25\ dan \x=0,75\. Perhitungan dilakukan seperti berikut \[ \int_0^1 x^2 dx \approx \leftf\left0,25\right+f\left0,75\right\right\ \frac{1-0}{2}=\frac{0,25^2+0,75^2}{2}=0,3125 \] Untuk meningkatkan akurasi dari nilai yang dihasilkan, jumlah panel dapat ditingkatkan. Untuk jumlah panel 4, titik tengah berada pada \x=\left\{0,125;0,375;0,625;0,875\right\}\. \[ \int_0^1 x^2 dx \approx \leftf\left0,125\right+f\left0,375\right+f\left0,625\right+f\left0,875\right\right\ \frac{1-0}{4}=0,328125 \] Visualisasi proses integrasi dengan metode Riemann dapat dilihat pada Gambar Gambar Visualisasi integral Riemann dengan 2 panel dan 4 panel sumberHoward, 2017. Berdasarkan Persamaan kita dapat mengembangkan fungsi R yang dapat digunakan untuk melakukan perhitungan integral Riemann. Sintaks fungsi tersebut adalah sebagai berikut Kita akan menghitung kembali fungsi pada Contoh dengan menggunakan jumlah panel 2, 4 dan 100. Berikut adalah sintaks yang digunakan [1] [1] [1] Berdasarkan teori yang telah dipaparkan sebelumnya, kita ketahui bahwa untuk memperoleh nilai pendekatan integral yang sebenarnya kita dapat meningkatkan jumlah panel yang digunakan. Untuk mengetahui jumlah panel minimum yang diperlukan untuk memperoleh hasil integrasi yang stabil, kita akan melakukan simulasi menggunakan data yang disajikan pada Contoh dengan memvariasikan jumlah panel yang akan digunakan. Pada simulasi yang akan dilakukan kita akan coba memvariasikan jumlah panel dari 2 hingga 100. Berikut adalah sintaks yang digunakan Gambar Visualisasi simulasi pemilihan jumlah panel minimum metode integrasi Riemann. Berdasarkan hasil simulasi dapat disimpulkan jumlah panel minimum yang diperlukan untuk memperoleh hasil integrasi yang stabil kira-kira sebesar \m=40\. Metode Trapezoida Pendekatan trapezoida dilakukan dengan melakukan pendekatan area dibawah kurva fungsi \y=f\leftx\right\ dengan subinterval \\left[x_i,x_{i+1}\right]\ menggunakan trapesium. Untuk memahami pendekatan yang digunakan pembaca dapat memperhatikan Gambar Gambar Visualisasi integragrasi numerik menggunakan metode tapezoida sumber Jones 2014. Fungsi proses integrasi menggunakan metode trapezoida dapat dituliskan pada Persamaan \[\begin{equation} \int_a^bf\leftx\rightdx\ = \lim\limits_{m \to \infty} \sum_{i=1}^m\frac{\leftc_{i+1}-c_i\right\times\leftf\leftc_{i+1}\right+f\leftc_i\right\right}{m} \tag{ \end{equation}\] dimana \[ c_i=a+\frac{\leftb-a\right}{n}i \] \n\ merupakan nilai subinterval dan \m\ merupakan jumlah panel trapesium yang digunakan. Error dari metode ini dapat diestimasi menggunakan Persamaan \[\begin{equation} \int_a^bh\leftx\rightdx=-\ \frac{\leftb-a\right^3}{12m^2}f^{\left2\right}\left\xi\right \tag{ \end{equation}\] dimana \\xi\ merupakan nilai antara \a\ dan \b\. Contoh Hitung kembali nilai intergrasi persamaan pada Contoh menggunakan metode trapezoida dengan jumlah panel m=2! Jawab Penyelesaian numerik menggunakan trapezoida dengan jumlah panel 2 dapat dilakukan dengan menentukan lokasi titik evaluasi. Berdasarkan Gambar terdapat 3 batas subinterval yaitu pada \a\,\\frac{\leftb-a\right}{2}\, dan \b\. Perhitungan intergral menggunakan ketiga titik evaluasi tersebut adalah sebagai berikut \[ \int_0^1 x^2 dx \approx \frac{\left0,5\right\left0,25+1,25\right}{2}=0,375 \] Gambar Visualisasi integrasi metode trapezoida dengan 2 panel sumberHoward, 2017. Berdasarkan Persamaan kita dapat mengembangkan fungsi R yang dapat digunakan untuk melakukan perhitungan integral metode trapezoida. Sintaks fungsi tersebut adalah sebagai berikut Kita dapat menghitung kembali intergral persamaan pada Contoh menggunakan fungsi trap yang telah dibuat. Berikut adalah sintaks yang digunakan [1] Untuk mengetahui jumlah panel minimum yang diperlukan untuk memperoleh hasil integrasi yang stabil pada persamaan tersebut, kita akan kembali melakukan simulasi menggunakan variasi jumlah panel yang digunakan. Dalam simulasi variasi jumlah panel yang digunakan adalah 2 sampai 100. Berikut adalah sintaks yang digunakan [1] Gambar Visualisasi simulasi pemilihan jumlah panel minimum metode integrasi trapezoida. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh nilai panel minimum sebesar \m=20\. Hasil yang diperoleh tersebut menujukkan bahwa metode trapezoida lebih efisien dalam proses komputasi dibandingkan metode Riemann. Metode Simpson Metode Simpson membagi subinterval \\left[a,b\right]\ menjadi \n\ subinterval, dimana \n\ merupakan bilangan genap. Untuk setiap pasang subinterval, luas area di bawah fungsi \f\leftx\right\ ditaksir menggunakan polinomial berderajat 2. Misalkan \u1\, Hitung \Q_1\ dengan pendekatan metode Riemann dan \m=1\ Hitung \Q_2\ dengan pendekatan metode Riemann dan \m=2\ Jika \Q_1-Q_2>3\times\text{nilai toleransi}\, Perkecil \m\ sebanyak 1, \m-1\ Perkecil \\text{nilai toleransi}\ menjadi setengahnya Bagi area integrasi menjadi dua bagian dengan menetapkan \c\ sebagai batas, sehingga terdapat dua batas yaitu \\left[a, c\right]\ dan \\left[c, b\right]\. Lakukan perhitungan kembali integral pada masing-masing batas tersebut menggunakan metode Riemann dan cek apakah \Q_1-Q_2>3\times\text{nilai toleransi}\. Jika \Q_1-Q_2= 1" }else ifm==1{ m 3*tol{ m <- m-1 tol <- tol/2 c <- a+b/2 lt <- riemann_adaptintf, a, c, m=m, tol=tol rt <- riemann_adaptintf, c, b, m=m, tol=tol area <- lt+rt }else{ area <- q2 } } returnarea } Contoh Hitung integral fungsi di bawah ini dengan menggunakan integral Riemann adaptif dengan jumlah panel yang digunakan m=100! \[ \int_{1}^{10} \sin\leftx\right^2+\log\leftx\rightdx \] Jawab Kita akan menghitung integral dari fungsi tersebut menggunakan fungsi R yang telah dibuat. Berikut adalah sintaks yang digunakan [1] Metode Integral Adaptif Menggunakan Fungsi Lainnya Pada R Terdapat dua buah fungsi yang hendak penulis kenalkan pada pembaca yang berfungsi untuk melakukan integrasi adaptif pada R. Fungsi-fungsi tersebut antara lain integrate dari Paket base dan integral dari Paket pracma. Fungsi integrate merupakan fungsi yang akan melakukan integrasi numerik menggunakan metode kudratur adaptif untuk sebuah variabel dengan selang terbatas finite maupun tidak terbatas infinite. Format fungsi tersebut secara umum adalah sebagai berikut Catatan f fungsi yang akan dicari integralnya lower batas bawah. upper batas atas. … argumen tambahan functn subdivision jumlah subinterval atau panel yang akan digunakan. nilai akurasi relatif yang hendak dicapai nilai akurasi absolut yang hendak dicapai Contoh penerapan fungsi integrate adalah sebagai berikut with absolute error < Fungsi lainnya yang dapat digunakan untuk melakukan komputasi integral adaptif adalah fungsi integral dari Paket pracma. Terdapat dua buah metode integrasi adaptif yang dapat digunakan pada fungsi tersebut yaitu Gauss-Konrod dan Simpson. Metode Clenshaw-Curtis yang tersedia masih belum dapat melakukan integrasi adaptif melalui fungsi tersebut. Format umum fungsi integral adalah sebagai berikut Catatan fun fungsi yang akan dicari integralnya xmin batas bawah. xmax batas atas. method metode imtegrasi yang digunakan. … argumen tambahan fun. no_intervals jumlah subinterval atau panel yang akan digunakan. reltol nilai akurasi relatif yang hendak dicapai abstol nilai akurasi absolut yang hendak dicapai Berikut merupakan contoh penerapan fungsi integral [1] Metode Integrasi Romberg Seperti halnya algoritma integrasi adaptif, integrasi Romberg adalah perluasan yang relatif mudah dari keluarga algoritma Newton-Cotes. Keduanya bekerja dengan menggunakan iterasi yang disempurnakan dari beberapa metode Newton-Cotes yang mendasarinya untuk memberikan perkiraan nilai integral yang lebih akurat. Tidak seperti proses komputasi fungsi riemann_adapint, integrasi Romberg bukanlah pendekatan adaptif terhadap integrasi. Hal tersebut berarti metode Romberg tidak mengubah perilakunya sendiri berdasarkan perilaku fungsi yang akan diintegrasikan. Sebaliknya, kita mengeksploitasi perilaku fungsi trapesium pada batas untuk menghasilkan estimasi integral. Untuk memahami integrasi Romberg, kita harus mulai dengan implementasi rekursif dari aturan trapesium. Jika kita mulai dengan suatu fungsi, \T\leftf, m\right\ di mana \T\ adalah fungsi trapesium, \f\ adalah fungsi yang akan diintegrasikan, dan \m\ adalah jumlah panel untuk diintegrasikan, maka, \[\begin{equation} S\leftf, m\right=\frac{4T\leftf, m\right-T\leftf, m/2\right}{3} \tag{ \end{equation}\] di mana \S\ adalah aturan Simpson. Kemudian, jika kita mendefinisikan \T \leftf, 0\right = \leftb − a\right \leftf \leftb\right + f \lefta\right\right = 2\, maka fungsi rekursif kita selesai, karena berdasarkan hubungan ini, fraksi yang diberikan dalam Persamaan juga merupakan perkiraan untuk integral. Secara umum, \[\begin{equation} I_{j,k}=\frac{4^k I_{j,k-1}-I_{j-1,k-1}}{4^k-1} \tag{ \end{equation}\] di mana \I_{0, 0}\ adalah aturan trapesium satu panel dan \I_{j, 0}\ adalah aturan trapesium dengan panel \2^j\. Dengan menggunakan fungsi-fungsi dasar ini, \I_{j, k}\ dapat ditemukan secara iteratif sebagai matriks segitiga-bawah di mana masing-masing nilai di kolom yang bukan paling kiri adalah fungsi dari nilai di sebelah kiri dan entri di atasnya. Definisi rekursif ini muncul dari ekstrapolasi Richardson. Ketika diterapkan pada algoritma trapesium, yang konvergen menuju nilai sebenarnya dari integral sebagai \m\ jumlah panel meningkat, hubungan dalam Persamaan muncul. Penting untuk dipahami bahwa pada batas ketika \k\ mendekati tak terhingga, nilai \I_{j, k}\ adalah nilai sejati integral. Untuk nilai yang lebih kecil dari \k\, integral Romberg masih hanya perkiraan, meskipun hasil yang diperoleh sangat bagus. Algoritma Metode Integrasi Romberg Tentukan fungsi \f\leftx\right\ dan selang integrasinya \\left[a,b\right]\. Tentukan jumlah subinterval \m\. Bentuk matrik \R\ dengan ukuran \m\times m\ yang akan menampung hasil perhitungan. Untuk \R_{1,1}\ hitung integral fungsi menggunakan metode trapezoida dengan \m=1\. Untuk \j=2,\dots,m\ dan \k=1\, hitung integral dengan jumlah panel \m=2^{j-1}\ Untuk \j=2,\dots,m\ dan \k=2,\dots,m\ hitung nilai perbaikan nilai integrasi menggunakan Persamaan Solusi integrasi diperoleh pada \R_{m,m}\. Berdasarkan algoritma tersebut, kita akan menyusun suatu fungsi pada R untuk melakukan proses komputasi integrasi dengan metode Romberg. Berikut adalah sintaks fungsi yang dibuat romberg <- functionf, a, b, m, tab=FALSE{ R <- matrixNA, nrow=m, ncol=m R[1,1] <- trapf, a, b, m=1 forj in 2m{ R[j,1] <- trapf, a, b, m=2^j-1 fork in 2j{ k4 <- 4^k-1 R[j,k] <- k4*R[j,k-1]-R[j-1,k-1]/k4-1 } } iftab==TRUE{ returnR }else{ returnR[m,m] } } Contoh Hitung integral fungsi yang ditampilkan pada Contoh dengan m=10! Jawab Kita dapat menggunakan fungsi romberg untuk melakukan proses integrasi menggunakan metode Romberg. Berikut adalah sintaks yang digunakan [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [1,] NA NA NA NA NA NA NA [2,] NA NA NA NA NA NA [3,] NA NA NA NA NA [4,] NA NA NA NA [5,] NA NA NA [6,] NA NA [7,] NA [8,] [9,] [10,] [,9] [,10] [1,] NA NA [2,] NA NA [3,] NA NA [4,] NA NA [5,] NA NA [6,] NA NA [7,] NA NA [8,] NA NA [9,] NA [10,] Berdasarkan hasil perhitungan nilai integral fungsi tersebut adalah Metode Integrasi Romberg Menggunakan Fungsi Lainnya Fungsi romberg pada Paket pracma dapat digunakan untuk melakukan integrasi metode Romberg. Format umum fungsi tersebut adalah sebagai berikut Catatan f fungsi yang akan dicari integralnya a batas bawah. b batas atas. … argumen tambahan functn maxit jumlah iterasi maksimum. tol nilai akurasi yang hendak dicapai Berikut adalah contoh penerapan fungsi romberg $value [1] $iter [1] 8 $ [1] Metode Integrasi Monte Carlo Nama Monte Carlo berasal dari daerah di Monako, yang terkenal karena aktikvitas kasino dan perjudiannya. Jelas, permainan kasino yang baik tergantung pada keacakan, seperti juga metode Monte Carlo. Nama ini menggambarkan pentingnya keacakan dalam proses karena algoritma Monte Carlo menggunakan generator angka acak untuk membedakan input ke suatu fungsi. Angka acak harus berasal dari domain fungsi yang diharapkan. Selanjutnya, fungsi itu sendiri bersifat deterministik karena untuk diberikan dua input dari domain fungsi \x_1\ dan \x_2\. Jika \x_1 = x_2\, maka \f \leftx_1\right = f \leftx_2\right\. Generator angka acak digunakan untuk menghasilkan sejumlah besar input dan fungsinya dijalankan pada setiap input. Akhirnya, hasil yang diperoleh dikumpulkan sesuai dengan model logika yang sesuai dengan analisis yang dilakukan. Metode Monte Carlo dapat digunakan untuk integrasi numerik dalam jumlah dimensi apa pun yang diberikan. Pendekatan mendasar metode ini adalah menempatkan beberapa titik \m\ secara acak di atas domain untuk diintegrasikan. Jika titik terletak “di bawah” garis fungsi, maka titik tersebut dianggap dalam area integrasi. Jika titiknya “di atas” garis fungsi, maka titik tersebut bukan berada diluar garis integrasi. Area di bawah perkiraan kurva adalah persentase titik di bawah garis. Beberapa algoritma Monte Carlo yang paling awal digunakan untuk menemukan area di bawah kurva atau untuk memperkirakan nilai \\pi\ sebuah hobi favorit matematikawan sejak dahulu. Satu pendekatan menciptakan seperempat lingkaran, menggunakan fungsi \f \leftx\right = \sqrt{1-x^2}\. Melalui domain \\left[0, 1\right]\, ini adalah fungsi dan merupakan hasil dari penyelesaian persamaan standar untuk lingkaran, \x^2 + y^2 = r\ untuk \y\ di mana \r = 1\. Gambar menunjukkan plot fungsi ini. Selain itu, 20 titik acak dipilih. Jika titik di bawah kurva dilambangkan dengan lingkaran hitam terisi dan titik-titik kurva dilambangkan dengan titik bulat kosong. Dalam contoh ini, terdapat 15 titik berada di bawah kurva, mengarah ke estimasi area luas area 0,75. Karena kurva mewakili seperempat lingkaran, estimasi untuk \\pi\ adalah 3. Meningkatkan jumlah tes titik acak meningkatkan ketepatan estimasi dan akurasi. Gambar Visualisasi metode Monte-Carlo untuk fungsi setengah lingkaran dengan jumlah bilangan acak 20 sumber Jones 2014. Bentuk umum metode Monte-Carlo disajikan pada Persamaan \[\begin{equation} \int_a^bf\leftx\rightdx\approx\leftb-a\right\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nf\leftx_i\right \tag{ \end{equation}\] dimana \N\ merupakan jumlah titik yang akan dievaluasi. Algoritma Metode Monte Carlo Tentukan fungsi \f\leftx\right\ dan selang integrasinya \\left[a,b\right]\. Tentukan jumlah titik acak yang akan digunakan \N\. Lakukan produksi titik acak \x\ dengan selang \\left[a,b\right]\ sejumlah \N\ Hitung \f\leftx_i\right\ Hitung estimasi area menggunakan Persamaan Berdasarkan algoritma tersebut, fungsi R dapat dibangun untuk melakukan integrasi numerik menggunakan metode Monte Carlo. Berikut adalah sintaks yang digunakan Contoh Hitung integral fungsi yang ditampilkan pada Contoh menggunakan metode Monte-Carlo dengan m=1e6! Jawab Integrasi Monte Carlo menggunakan menggunakan fungsi monte_int disajikan pada sintaks berikut [1] Hasil yang diperoleh sedikit berbeda dengan yang dihasilkan oleh metode lainnya. Hal ini disebabkan oleh penggunaan bilangan acak pada proses integrasi. Selain itu, metode ini juga menghasilkan kualitas hasil yang rendah dengan tingkat komputasi yang tinggi dibandingkan dengan metode Newton-Cotes. Keunggulan metode Monte Carlo dibandingkan metode sebelumnya adalah kemampuan untuk menangani proses integrasi berganda. Berikut adalah bentuk umum proses integrasi bivariat menggunakan metode Monte Carlo \[\begin{equation} \int \int f\leftx,y\rightdx\approx V\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nf\leftx_i,y_i\right \tag{ \end{equation}\] dimana \V\ merupakan area perpotongan \x-y\ dimana fungsi \f\leftx,y\right\ diintegrasikan. Algoritma Metode Monte Carlo Bivariat Tentukan fungsi \f\leftx\right\ dan domain integrasinya pada masing-masing sumbu \x\ dan \y\ Tentukan jumlah titik acak yang akan digunakan \N\. Lakukan produksi titik acak \x\ dan \y\ masing-masing domain sumbunya sejumlah \N\ Hitung \V=\left x_{max}-x_{min}\right \times \lefty_{max}-y_{max}\right\ Hitung estimasi volume menggunakan Persamaan Contoh Hitung volume melalui integrasi persamaan berikut menggunakan metode Monte Carlo dengan domain x = [0,1] dan y=[0,1]! \[ \int_{0}^1 \int_{0}^1 x^2y \ dy \ dx \] Jawab Berikut adalah sintaks yang digunakan untuk melakukan integrasi persamaan tersebut menggunakan metode Monte Carlo bivariat [1] Karena metode Monte Carlo tidak deterministik, error integrasi Monte Carlo tidak dibatasi dalam pengertian yang telah kita lihat sejauh ini. Namun, kita dapat memperkirakan varians dari estimasi yang dihasilkan, yang berkurang dengan meningkatnya jumlah poin \[\begin{equation} \text{Var}\frac{1}{N}\sum f\left\right=\frac{\sigma^2}{N} \tag{ \end{equation}\] dimana \\sigma^2=\text{Var}\ f\left\right\. Definisi ini juga digunakan untuk proses integrasi dengan dimensi yang lebih tinggi. Perlu diketahui pula bahwa metode Monte Carlo hanya dapat digunakan jika nilai terendah dari variabel bebas yang digunakan tidak negatif. Hal ini dilakukan untuk mencegah adanya pengurangan dengan nilai negatif sehingga hasil integrasi jauh lebih besar dari yang seharusnya. Studi Kasus Penerjung Payung Pada studi kasus kali ini, penulis akan memberikan contoh penerapan integrasi numerik dalam menganalisa jarak jatuh seorang penerjung payung yang melompat dari sebuah pesawat. Kecepatan penerjun payung dapat dituliskan ke dalam sebuah fungsi dari waktu, \[\begin{equation} v\leftt\right=\frac{gm}{c}\left1-e^{-\leftc/m\rightt}\right \tag{ \end{equation}\] dimana \v\ adalah kecepatan penerjun payung dalam \m/dt\, \g\ adalah percepatan gravitasi sebesar \9,8 \ m/dt^2\, \m\ adalah massa penerjun payung sebesar \68,1 \ kg\, dan \c\ adalah koefisien tahanan udara sebesar \12,5\ kg/dt\. Misalkan kita ingin mengetahui seberapa jauh penerjun telah jatuh setelah waktu tertentu \t\. Karena kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak, maka jarak penerjun dari titik terjun \\leftt=0\right\ adalah \[\begin{equation} d=\int_{0}^{t}v\leftt\rightdt=\int_{0}^{t}\frac{gm}{c}\left1-e^{-\leftc/m\rightt}\rightdt \tag{ \end{equation}\] Jika kita ingin mengetahui jarak yang telah ditempuh saat \t=10\, kita dapat melakukan integrasi pada persamaan tersebut dengan domain \t=\left[0,10\right]\. Persamaan dapat dinyatakan menjadi Persamaan dengan memasukkan semua komponen yang telah diketahui sebelumnya. \[\begin{equation} d=\int_{0}^{10}\frac{9,8\times 68,1}{12,5}\left1-e^{-\left12,5/68,1\right^t}\rightdt \tag{ \end{equation}\] Kita dapat menyelesaikan Persamaan dengan menggunakan metode-metode integrasi numerik yang telah dijabarkan sebelumnya. Berikut adalah sintaks untuk masing-masing metode tersebut Newton-Cotes [1] [1] [1] [1] Metode Adaptif [1] Metode Romberg [1] Metode Monte Carlo [1] Referensi Bloomfield, 2014. Using R for Numerical Analysis in Science and Engineering. CRC Press. Chapra, Canale, 2015. Numerical Methods For Engineers, Seventh Edition. Mc Graw Hill. Howard, 2017. Computational Methods for Numerical Analysis with R. CRC Press. Kreyszig, E. 2011. Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition. John Wiley & Sons. Sanjaya, M. 2015. Metode Numerik Berbasis Phython. Penerbit Gava Media Yogyakarta. Suparno, S. 2008. Komputasi untuk Sains dan Teknik Edisi II. Departemen Fisika-FMIPA Universitas Indonesia. Latihan Hitung integral fungsi \f\leftx\right=\sin^2\leftx\right\ pada domain \x \in \left[0,\pi\right]\ ! Tuliskan fungsi R yang dapat melakukan integrasi Riemann dengan aturan titik kiri ! Buatlah sebuah fungsi R yang dapat melakukan integrasi adaptif menggunakan metode Simpson 1/3 ! Kerjakan kembali soal 3 dengan menggunakan metode Simpson 3/8! Note pembaca dapat melakukan pencarian algoritma di internet dan mentrasformasikannya menjadi sintaks R Fungsi monte_int hanya mampu melakukan integrasi pada domain positif. Buatlah algoritma baru sehingga metode ini dapat melakukan integrasi pada domain negatif ! IxdS. 106 277 230 441 413 28 110 138 87simbol titik tengah kecil
